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¿Cómo puede un ingeniero medir la estabilidad en un circuito de retroalimentación negativa analógica? Para los circuitos de fase mínima, puede considerar el uso de la tasa de cierre.

En el diseño análogo cotidiano, los ingenieros a menudo necesitan estimar rápidamente el grado de estabilidad (o falta de ella) de un circuito de retroalimentación negativa. Una herramienta conveniente que es aplicable a fase mínima Los circuitos (llamados así porque todos sus polos y ceros están en la mitad izquierda del plano complejo) son los tasa de cierre (ROC).

Para preparar el fondo, considere el diagrama de bloques familiar de la Figura 1a:

(a) (b)

Figura 1. (a) Diagrama de bloques de un circuito de retroalimentación negativa, y (b) visualización de la ganancia de bucle T.

Este diagrama consiste en un amplificador de error con ganancia una(jf), una red de retroalimentación con función de transferencia β (jf), y un bloque sumador que genera el señal de error S_mi,

Ecuación (1)

Coleccionar y resolver para S_mi da

Ecuación (2)

dónde T = aβ se llama el ganancia de bucle porque cualquier señal que ingrese al amplificador y que gire en sentido horario alrededor del bucle, se amplificará primero una y luego por β, para una ganancia total de aβ. Es evidente que más grande T lleva a más pequeño S_mipara una entrada dada S_yo.

Reescribiendo como T = a / (1 / β), tomando los logaritmos, y multiplicando por 20 para convertir a decibelios, da

Ecuación (3)

lo que indica que podemos visualizar el gráfico de decibeles de |T| como el diferencia entre las parcelas de decibelios de |una| y |1 / β|. Esto se representa en la figura 1b para el caso de un amplificador operacional de ganancia constante de ancho de banda y una frecuencia independiente β.

La frecuencia F_X en la cual las dos curvas se intersecan, acertadamente llamadas las frecuencia de cruce, juega un papel importante en la estabilidad del circuito (o falta de él). En esta frecuencia, tenemos |T (jf_X)|_dB = 0, o |T (jf_X) | = 1. Si la fase ph

El[T (jf_X)]alguna vez alcanzar –180 °, entonces tendríamos T (jf_X) = –1, que, sustituido en Eq. (2), indica que S_mi Haría estallar y conduciría a la oscilación. (Tenga en cuenta que incluso si se establece S_yo = 0, el ruido intrínseco del circuito provocaría la acumulación de S_mi.) Para evitar la oscilación, debemos asegurarnos de que ph

El[T (jf_X)]es lejos a partir del valor temido de –180 ° por una cantidad suficiente, adecuadamente llamada margen de fase φ_metro,

φ_metro = 180 ° + ph[T(jf[T(jf_X)]

Ecuación (4)

Los márgenes de fase de interés práctico son φ_metro = 90 °, φ_metro = 65.5 ° (que marca el inicio de en horas pico en la respuesta ac), φ_metro = 76.3 ° (que marca el inicio de zumbido en la respuesta transitoria), y φ_metro = 45 ° (que veremos para prestarse a una fácil visualización geométrica, aunque resulta en un pico de 2,4 dB y un timbre con un exceso de 23%).

En la situación representada en la figura. 1b, 1 / β es un número real, por lo que su fase es 0 ° y tenemos ph

El[T (jf_X)]= ph

El[una(jf_X)]≈ –90 °, debido a que F_X >> F_pag. Por consiguiente, φ_metro ≈ 180 ° + (–90 °) = 90 °. Sin embargo, las cosas no siempre son tan atractivas, por lo que nos dirigimos a los casos más generales de la Figura 2 para estimar los márgenes de fase de los diversos casos. Para ello utilizaremos los tasa de cierre (ROC).

¿Qué es la tasa de cierre?

La tasa de cierre o ROC se define como la diferencia entre las laderas de la ⎪1 / βY de losuna⎪ curvas Correcto en la frecuencia de cruce:

Ecuación (5)

Una vez que conocemos la ROC, estimamos la margen de fase como

Ecuación (6)

En la Figura 2, asumimos un amplificador de error con un perfil de ganancia más general que el tipo de producto de ancho de banda de ganancia constante de la Figura 1a. (Para un dibujo fácil, estamos usando segmentos rectos, aunque sabemos que en la práctica los ángulos agudos son redondeado, como el |una| curva en la figura 1b.)

(a) (b)

Figura 2. (a) Situaciones de margen de fase frecuentes con (a) factor de retroalimentación β (jf) independiente de la frecuencia y (b) dependiente de la frecuencia.

Ahora, pasada la primera frecuencia de polo. F_p1, ⎪una⎪ sale a una velocidad de –20 dB / dec, y pasa la segunda frecuencia de polo F_p2 se despega a una velocidad de –40 dB / dec. A la derecha en F_p2 la pendiente debe ser la media de las dos pendientes, o –30 dB / dec. Así mismo, pasado F_p3, ⎪una⎪ se despega a una tasa de –60 dB / dec, y la pendiente a la derecha en F_p3debe ser de –50 dB / dec.

• En figura 2a el ⎪1 / β₁La curva tiene una pendiente de 0 y la interceptauna⎪ curva en la región donde ⎪una⎪ se despega a una velocidad de –20 dB / dec, por lo que la ec. (5) da ROC = 0 – (- 20) = 20 dB / dec, y la ec. (6) da φ_m1 ≈ 180 – 4,5 × 20 = 90 °.
• El ⎪1 / β₂La curva tiene una pendiente de 0 y la interceptauna⎪ curva en F_p2, donde elunaLa curva tiene una pendiente de –30 dB / dec, así que las ecuaciones. (5) y (6) dan ROC = 0 – (- 30) = 30 dB / dec, y φ_m2 ≈ 180 – 4,5 × 30 = 45 °.
• El ⎪1 / β₃La curva tiene una pendiente de 0 y la interceptauna⎪ curva en la región donde ⎪una⎪ tiene una pendiente de –40 dB / dec, así que las ecuaciones. (5) y (6) dan ROC = 0 – (- 40) = 40 dB / dec, y φ_m3 ≈ 180 – 4,5 × 40 = 0 °.
• En figura 2b la pendiente de la ⎪1 / β₄La curva changes cambia de 0 dB / dec por debajo de su frecuencia de cruce a +20 dB / dec por encima de su frecuencia de cruce, por lo que justo en el cruce su pendiente debe ser de +10 dB / dec. Entonces, ecs. (5) y (6) dan ROC = +10 – (- 20) = 30 dB / dec, y φ_m4 ≈ 180 – 4,5 × 30 = 45 °.
• La pendiente de la ⎪1 / β₅La curva at en su frecuencia de cruce es de +20 dB / dec, así que las ecuaciones. (5) y (6) dan ROC = +20 – (- 20) = 40 dB / dec, y φ_m5 ≈ 180 – 4,5 × 40 = 0 °.
• La pendiente de la ⎪1 / β₆La curva changes cambia de +20 dB / dec inmediatamente por debajo de su frecuencia de cruce a 0 dB / dec por encima de su frecuencia de cruce, por lo que justo en el cruce su pendiente debe ser de +10 dB / dec. Entonces las ecuaciones. (5) y (6) dan ROC = +10 – (- 20) = 30 dB / dec, y φ_m6 ≈ 180 – 4,5 × 30 = 45 °.
• La pendiente de la ⎪1 / β₇La curva changes cambia de 0 por debajo de su frecuencia de cruce a –20 dB / dec por encima de su frecuencia de cruce, por lo que justo en el cruce su pendiente debe ser de +10 dB / dec. Además, la pendiente de launaLa curva es de –40 dB / dec, así que las ecuaciones. (5) y (6) dan ROC = –10 – (- 40) = 30 dB / dec, y φ_m7 ≈ 180 – 4,5 × 30 = 45 °.
• La pendiente de la ⎪1 / β₈La curva de at en su frecuencia de cruce es de –20 dB / dec, y la de ⎪unaLa curva es de –40 dB / dec, así que las ecuaciones. (5) y (6) dan ROC = –20 – (- 40) = 20 dB / dec, y φ_m8 ≈ 180 – 4,5 × 20 = 90 °. Es interesante que aunque el cruce se produce en la región dondeuna⎪ se desplaza a una tasa pronunciada de –40 dB / dec, al igual que ⎪1 / β₃La curva ⎪ hace, la pendiente de –20 dB / dec del ⎪1 / β₈La curva ⎪ mejora el margen de la fase en comparación con la ⎪1 / β₃⎪ caso.

Vale la pena considerar a ROC como el ángulo entre los ⎪1 / β⎪ y ⎪una⎪Curvas en el punto donde se intersecan. A medida que este ángulo se vuelve más estrecho, el circuito se vuelve más estable. Por el contrario, cuanto más amplio sea este ángulo, más cerca estará el circuito de la inestabilidad.

La estimación de margen de fase proporcionada por el método ROC puede ser bastante buena si todas las frecuencias de polo y cero están en menos una década lejos de la frecuencia de cruce. Incluso si este no es el caso, el método ROC todavía proporciona un punto de partida razonable. Después de obtener suficiente experiencia, un diseñador podrá calcular una estimación mejorada para el margen de la fase.

Un ejemplo de la vida real de la tasa de cierre

Apliquemos las consideraciones anteriores a un ejemplo de la vida real. Supongamos que queremos diseñar un amplificador de alta precisión con (una) una ganancia de circuito cerrado de CC de 10³ V / V (o 60 dB), y (segundo) una ganancia de bucle DC T₀ de al menos 10⁶. Todo lo que tenemos a mano son amplificadores operacionales que tienen una ganancia de CC de 10⁵ V / V (o 100 dB) y un producto de ancho de banda de ganancia constante de 1 MHz (es decir, una frecuencia de transición de f_t = 1 MHz).

Después de dibujar el ⎪una⎪ y ⎪1 / β⎪ curvas como en la figura 3b, notamos que con un soltero op-amp tendríamos un circuito estable (su situación es similar a la ⎪ 1 / β1⎪ caso de la figura 2a), pero con T₀= 100 – 60 = 40 dB, o 10², que es insuficiente. Para hacer jazz T₀ vamos a usar dos amplificadores operacionales en cascada, para una ganancia general de a × a = a². Ahora nos encontramos con el T₀ requisitoT₀ = 200 – 60 = 140 dB, o 10⁷ > 10⁶), pero la pendiente de |una²| en la frecuencia de cruce es de –40 dB / dec, lo que indica que estamos en la situación de la ⎪1 / β₃⎪ caso de la figura 2a, con φ_metro ≈ 0 °. Necesitamos estabilizar el circuito de forma adecuada.

(a) (b)

Figura 3. (a) Amplificador compuesto destinado a una ganancia de bucle cerrado de CC de 60 dB con una ganancia de bucle de CC T₀ ≥ 10⁶. (b) Diagrama de Bode que muestra que el compuesto tiene φ_metro ≈ 0 ° y por lo tanto necesita compensación de frecuencia.

Figura 4. Circuito de PSpice para simular el amplificador de la figura 3a.

modificando su ⎪1 / β⎪ curva en la proximidad de la frecuencia de cruce F_X, que en nuestro ejemplo puede verse como la media geométrica de 1 kHz y 1 MHz, o F_X = (10³× 10⁶)^1/2 = 31.6 kHz. El ⎪1 / β₇⎪ caso de la figura 2b sugiere que para φ_metro ≈ 45 ° tenemos que doblar la curva hacia abajo estableciendo un punto de quiebre justo en F_X, una tarea que realizamos colocando un condensador. do_Fen paralelo con R₂ e imponiendo la condición

Ecuación (7)

Enchufando F_X = 31.6 kHz y R₂= 99.9 kΩ da do_F = 50.36 pF. Ejecutando el circuito PSpice de la Figura 4, obtenemos los rastros de la Figura 5adonde medimos F_X ≈ 40.2 kHz y φ_metro ≈ 51.6 °. La respuesta ac A = V_o/ V_yo exhibe algunos picos, y la respuesta transitoria (no mostrada pero fácilmente verificable) exhibe algún timbre.

(a) (b)

Figura 5. Parcelas de | a²|, ⎪1 / β⎪, y la ganancia de bucle cerrado | A | para (a) C_F = 50.36 pF, y (b) C_F = 283.3 pF.

Para evitar picos y zumbidos, establezcamos una situación del tipo de1 / β₈⎪ caso de la figura 2b. Esto lo logramos cambiando nuestro ⎪1 / β⎪ curva hacia la izquierda hasta que intercepte el |una²| curva en el punto donde |una²| cae a 30 dB, o 31.6. Esto ocurre en una nueva frecuencia de cruce de F_X = (31.6 × 10³× 10⁶)^1/2 = 178 kHz. Para encontrar el nuevo punto de quiebre F₀ de la ⎪1 / βEn la curva we, explotamos la constancia del producto de ancho de banda de ganancia en la parte inclinada de la ⎪1 / β⎪ curva e imponer 31.6 × 178 × 10³ = 10³×F₀. Esto da F₀ = 5.623 kHz, por lo que ahora necesitamos do_F = 1 / (2π × 99.9 × 10³ × 5.623 × 10³) = 283.3 pF.

Ejecución del circuito PSpice de la Figura 4, pero con este nuevo valor de do_F, obtenemos las parcelas de la figura. 5bdonde medimos F_X ≈ 177.8 kHz y φ_metro ≈ 86.4 °. Nos deshicimos de los picos y los tonos, pero al precio de un ancho de banda de bucle cerrado más bajo de aproximadamente 5,8 kHz.

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