Entendiendo el error de cuantización de amplitud para ADCs

Este artículo examina el error de cuantificación de un convertidor de analógico a digital.

Un ADC transforma un valor de entrada en uno de los valores de un conjunto de niveles discretos y genera un código digital para especificar el nivel de cuantización. El proceso de cuantificación introduce algún error en el sistema.

Este artículo analizará el error de cuantificación al aplicar una entrada de rampa a un cuantizador. Luego, veremos un ejemplo en el que el error de cuantificación se parece a una fuente de ruido. Además, discutiremos las ventajas de modelar el error de cuantificación utilizando una fuente de ruido. Continuaremos esta discusión en la siguiente parte de este artículo. Allí, veremos las suposiciones que nos permiten usar el modelo de ruido, y usaremos el modelo obtenido para caracterizar el efecto del error de cuantificación.

Un ADC ideal

La función de transferencia de un ADC unipolar de tres bits ideal se muestra en la Figura 1.

Figura 1 Imagen cortesía de Analog Devices.

El valor de escala completa (FS) de la entrada analógica se divide en ocho intervalos iguales (indicados por ⅛, ¼, …). En el punto medio de estos intervalos, hay una transición de un valor de salida digital al siguiente. A excepción de los primeros y últimos pasos, los otros pasos tienen un ancho igual a FS / 8. El ancho de los pasos (FS / 8) también especifica el valor analógico del bit menos significativo (LSB) del código digital de salida. Por lo tanto, si aplicamos la salida del ADC anterior a un convertidor ideal de digital a analógico (Figura 2), el código 001 producirá el valor analógico FS / 8, el código 010 producirá FS / 4, y así sucesivamente.

Figura 2

Error de cuantización de amplitud

El punto importante aquí es que un código digital dado representa un rango de valores de entrada analógicos; La amplitud de la entrada es cuantificada. Por ejemplo, todos los valores de entrada que van desde FS / 16 a 3 * FS / 16 están representados por un código de salida (el código 001). Si conectamos la salida del ADC a un DAC de tres bits ideal (Figura 2), el código 001 producirá el valor analógico FS / 8. Por lo tanto, los valores analógicos que van desde FS / 16 a 3 * FS / 16 están representados por un solo valor analógico FS / 8. Por lo tanto, incluso la cuantización de amplitud ideal introduce algún error. Este error se llama error de cuantización (V_q) y se puede calcular restando la entrada ADC (V_en) De la salida del DAC (V_afuera) como se muestra en la Figura 3 a continuación.

figura 3

Error de cuantificación para una entrada de rampa

Apliquemos una señal de rampa a la entrada de la configuración anterior y examinemos el error de cuantificación más de cerca. La línea azul en la Figura 4 muestra la rampa aplicada a la entrada. Además, la figura muestra los niveles cuantificados que obtenemos en la salida DAC en rojo.

Figura 4

Entre t₀ y T₁, la entrada es menor que FS / 16. Teniendo en cuenta la característica de entrada-salida de la Figura 1, la salida del ADC es 000, lo que da el valor analógico cuantificado V_afuera= 0. Como se muestra en la Figura 5, el error de cuantificación va de 0 a ½ FS / 8 (menos la mitad LSB) para este intervalo.

Figura 5

Entre t₁ y T₂, la entrada es mayor que FS / 16 y menor que 3FS / 16. La salida ADC es 001, lo que da el valor analógico cuantificado V_afuera= FS / 8 (Ver Figura 1 y 4). Para este intervalo, el error de cuantificación varía de + ½ ✕ FS / 8 a – ½ ✕ FS / 8 (consulte la Figura 5). De manera similar, podemos encontrar el valor de error para los otros niveles de cuantificación, como se muestra en la Figura 5. Tenga en cuenta que, a excepción del último nivel, el error de cuantificación siempre está entre ± FS / 16 (mitad LSB).

Ahora podemos usar la Figura 5 para calcular el valor del cuadrado medio de la raíz (RMS) del error de cuantificación para una entrada de rampa. El RMS de una función f (t) definida sobre el intervalo T₁ <t <T₂ Se obtiene mediante la siguiente ecuación:

Para la forma de onda de error de la Figura 5, tenemos:

Para mantener las cosas simples, ignoramos la primera parte (0 <t <t₁) y la última parte (t₈ <t <t₉) de la forma de onda. El error introducido al ignorar estas dos partes disminuye a medida que aumenta la resolución del cuantificador. Obtenemos:

Las integrales en la ecuación anterior corresponden a las versiones desplazadas en el tiempo de la misma señal. Un cambio de tiempo no cambia el área bajo una curva (o, de manera equivalente, su integral). Por lo tanto, estos términos integrales son iguales. Desde t₂-t₁ = t₃-t₂ =… = T₈-t₇, podemos simplificar la ecuación anterior como:

Ecuación 1

Podemos calcular directamente la integral anterior. Sin embargo, para hacer los cálculos más simples, asumimos que t₂-t₁ = T y aplique un cambio de tiempo de -T / 2 a la forma de onda. Por lo tanto, podemos simplemente calcular el RMS de V_q,nuevo(t) se muestra en la Figura 6 a continuación.

Figura 6

Por lo tanto, la ecuación 1 se puede reescribir como

Ecuación 2

donde V_q,nuevo(t) viene dada por la siguiente ecuación:

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación 2 y haciendo las matemáticas da

Sabemos que FS / 8 es el valor analógico del LSB. Por lo tanto, el error RMS viene dado por la siguiente ecuación:

Este es un resultado importante y lo obtendremos una vez más (en la segunda parte de este artículo) una vez más al analizar el problema desde un punto de vista diferente.

Resumamos nuestros hallazgos hasta ahora: vimos que incluso la cuantización de amplitud ideal introduce algún error, llamado error de cuantificación, en el sistema. Para investigar algunas propiedades de este error, aplicamos una entrada de rampa y observamos que el RMS del error es proporcional al valor LSB. Además, como se muestra en el ejemplo de la Figura 5, el error de cuantificación siempre está entre ± LSB / 2. Aumentar la resolución del cuantizador reducirá el LSB y el término de error. Además, ignorando la primera parte (0 <t <t₁) y la última parte (t₈ <t <t₉) de la forma de onda en la Figura 5, observamos que el valor medio del error es cero. También tenga en cuenta que, para un valor dado de la entrada, podemos calcular el valor exacto del error.

Error de cuantificación para una entrada más complicada

Aunque la discusión anterior nos permite obtener información sobre algunas propiedades del error de cuantificación, se basa en un supuesto poco realista, a saber, que la entrada es una rampa. Echemos un vistazo a otro ejemplo. Esta vez cuantificamos la discreta señal de coseno x[n]= 0.99cos (n / 10) representado en la Figura 7.

Figura 7 Imagen cortesía de Discrete-Time Signal Processing.

Si aplicamos un cuantizador de ocho bits a esta señal, la secuencia de error de cuantificación será como se muestra en la Figura 8.

Figura 8 Imagen cortesía de Discrete-Time Signal Processing.

A diferencia del caso de la entrada de rampa, el error para este ejemplo no parece seguir un patrón y no es fácil calcular el error RMS. Comparando el coseno de entrada de este ejemplo con la secuencia de error, observamos lo siguiente:

• La entrada es una señal de una sola frecuencia, pero el contenido de frecuencia de la señal de error parece bastante diferente. Tiene variaciones rápidas, por lo que esperamos que tenga componentes de alta frecuencia.
• No podemos reconocer una conexión entre el coseno de entrada y la secuencia de errores por inspección visual. Parece que la secuencia de errores no está correlacionada con la entrada y varía aleatoriamente de una muestra a la siguiente.

Como observamos en el ejemplo de la entrada de rampa, sabemos que la señal de error de cuantificación no es realmente aleatoria y, de hecho, puede calcularse para un valor de entrada dado. Pero, ¿y si pudiéramos modelar el error de cuantización como una señal aleatoria? bajo algunas suposiciones? La amplitud del error de cuantificación está entre ± LSB / 2, que puede ser un valor pequeño, especialmente cuando se trata de un cuantizador de alta resolución. Ahora, si esta señal de baja amplitud varía de manera impredecible, uno puede concluir que se parece a las fuentes de ruido que solemos encontrar en diferentes circuitos y sistemas.

Ventajas de modelar el error de cuantificación como fuente de ruido

Considerar el error de cuantificación como fuente de ruido puede simplificar mucho el problema. Sabemos cómo analizar el efecto de determinados tipos de fuentes de ruido en un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). El valor instantáneo de una fuente de ruido suele ser impredecible, por lo que no es posible realizar un análisis en el dominio del tiempo. Sin embargo, podemos observar el ruido durante mucho tiempo y utilizar los resultados medidos para encontrar un modelo estadístico del ruido. Por ejemplo, una característica útil de una fuente de ruido es su "densidad espectral de potencia" (PSD), que nos permite conocer la potencia promedio del ruido en diferentes bandas de frecuencia. Al tener la PSD de una señal de ruido, podemos usar la transformada de Laplace (para un sistema de tiempo continuo) o la transformada Z (para un sistema de tiempo discreto) para analizar el efecto del ruido en el espectro de salida de un sistema LTI ( Sin saber el valor instantáneo del ruido).

Por lo tanto, asumiendo que es posible modelar el proceso de cuantificación por una fuente de ruido, solo necesitamos encontrar la densidad espectral de potencia del modelo de ruido y usarlo para caracterizar el efecto del error en el rendimiento del sistema. En este caso, podemos usar el modelo de la Figura 3 para describir el proceso de cuantificación con una fuente de ruido aditivo, como se muestra en la Figura 9. Como puede ver, el valor cuantificado (V_afuera) es igual a la entrada (V_en) más una señal de ruido que modela el error de cuantización (V_q).

Figura 9

En la siguiente parte de este artículo, examinaremos las condiciones bajo las cuales podemos modelar el error de cuantificación como una fuente de ruido. Luego, analizaremos algunas características importantes del modelo obtenido y las utilizaremos para analizar el efecto del error de cuantificación en el rendimiento del sistema.

Conclusión

Incluso la cuantización de amplitud ideal introduce algún error, llamado error de cuantificación, en el sistema. El RMS de este error es proporcional al valor de LSB. Parece que podemos modelar el error de cuantización como una señal de ruido. bajo ciertas suposiciones. Si es posible, esto puede simplificar significativamente el análisis del efecto del error de cuantificación en el rendimiento del sistema.

Para ver una lista completa de mis artículos, visite esta página.