Ruido de cuantificación y error de cuantización de amplitud en ADCs

Aprenda los métodos y aplicaciones de modelar el error de cuantización de un ADC utilizando una fuente de ruido.

En el artículo anterior sobre error de cuantificación para convertidores ADC, observamos que, en casos particulares, el error de cuantificación se parece a una señal de ruido. También discutimos que modelar el término de error como una señal de ruido puede simplificar significativamente el problema de analizar el efecto del error en el rendimiento del sistema.

En este artículo, veremos las condiciones bajo las cuales se nos permite usar una fuente de ruido para modelar el error de cuantización. Luego, analizaremos el modelo estadístico del ruido de cuantificación y lo utilizaremos para analizar el error de cuantificación.

¿Cuándo un modelo de ruido lleva a resultados válidos?

Podemos encontrar fácilmente ejemplos en los que el error de cuantificación sea predecible y no actúe como fuente de ruido. Por ejemplo, si la entrada de un cuantizador es un valor de CC, el error de cuantificación será constante. Como otro ejemplo, suponga que la amplitud de la entrada siempre se encuentra entre dos niveles de cuantización adyacentes del cuantificador. En este caso, el error de cuantificación es igual a la entrada menos un valor de CC.

Otro caso interesante ocurre cuando la entrada es una sinusoide y la frecuencia de muestreo del cuantizador es un múltiplo de la frecuencia de entrada. Un ejemplo se ilustra en la Figura 1 a continuación.

Figura 1. Imagen cortesía de convertidores de datos.

La curva izquierda de la Figura 1 muestra dos períodos de una onda sinusoidal cuantificada de 10 bits. La curva derecha muestra el error de cuantización. Para este ejemplo, la relación entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia de entrada es 150.

La inspección visual del error de cuantificación revela un comportamiento periódico (un punto se indica con el rectángulo naranja). Como puede ver, hay una correlación entre la entrada y la señal de error, mientras que una fuente de ruido no está correlacionada con la entrada. En tales casos, esperamos que la señal de error tenga componentes de frecuencia considerables en los armónicos de la entrada.

La señal de error no se parece al ruido en los ejemplos anteriores. Sin embargo, en muchas aplicaciones prácticas, como el habla o la música, la entrada es una señal complicada y muestra fluctuaciones rápidas que ocurren de una manera algo impredecible. En tales casos, es probable que la señal de error actúe como una fuente de ruido.

Las mediciones experimentales y los estudios teóricos han demostrado que modelar el error de cuantificación como una fuente de ruido es válido si se cumplen las siguientes cuatro condiciones:

1. La entrada se acerca a los diferentes valores de nivel de cuantificación con igual probabilidad (en algunos de los ejemplos problemáticos discutidos anteriormente, vimos que la entrada siempre estuvo cerca de algunos niveles de cuantificación particulares).
2. El error de cuantización no está correlacionado con la entrada.
3. El cuantificador tiene un gran número de niveles de cuantización (como cuando tenemos un ADC de alta resolución).
4. Los pasos de cuantificación son uniformes (a diferencia de los convertidores de datos utilizados en telefonía que tienen una característica logarítmica).

Puede encontrar una forma más formal de expresar estas condiciones en la Sección 4.8.3 del libro Procesamiento de señales en tiempo discreto.

Si se satisfacen estas condiciones necesarias, podemos reemplazar la señal de error con una fuente de ruido aditivo, como se muestra en la Figura 2. Esto nos permite utilizar conceptos como la relación señal-ruido (SNR) para caracterizar el efecto del error de cuantificación. Sin embargo, antes de eso, necesitamos encontrar un modelo estadístico para la fuente de ruido.

Figura 2

Modelo estadístico de ruido de cuantificación

El primer paso para caracterizar una fuente de ruido puede ser estimar con qué frecuencia es probable que ocurra un valor dado. Esta distribución de amplitud se puede obtener observando la señal de ruido durante mucho tiempo y tomando muestras para crear un histograma de amplitud. El histograma consta de una serie de intervalos que corresponden a los intervalos de amplitud contiguos que abarcan todo el rango posible de la amplitud de ruido. La altura de un contenedor indica el número de muestras que se encuentran en el intervalo de bin.

Veamos un ejemplo de histograma de ruido de cuantización. Supongamos que la entrada es la señal de coseno discreta x[n]= 0.99cos (n / 10) (mostrado en la Figura 3).

Figura 3. Imagen cortesía de Discrete-Time Signal Processing.

Si aplicamos un cuantizador de ocho bits a esta señal, la secuencia de error de cuantización será la que se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Imagen cortesía de Discrete-Time Signal Processing.

La distribución de amplitud de ruido de cuantización

Ahora, tomamos 101,000 muestras de la señal de error y construimos un histograma con 101 bins que representan intervalos de amplitud que van desde -LSB / 2 a + LSB / 2.

El resultado se muestra en la Figura 5 a continuación.

Figura 5. Imagen cortesía de Discrete-Time Signal Processing.

Como puede ver, LSB / 2 es aproximadamente 4 × 10^-3 para este ejemplo.

Curiosamente, casi la misma cantidad de muestras se encuentran en los diferentes intervalos de bin; la altura de los contenedores está cerca del número total de muestras (101,000) dividido por el número de contenedores (101). En otras palabras, la amplitud del ruido se distribuye uniformemente entre ± LSB / 2. Si aumentamos la resolución del cuantizador, obtendremos una distribución de amplitud aún más uniforme. Esto es coherente con el tercer requisito previo para un modelo de ruido válido.

Mientras examinamos el histograma para un caso particular de tipo de entrada y resolución del cuantificador, el resultado es válido para otros casos en los que el error de cuantificación actúa como una fuente de ruido. Por lo tanto, podemos suponer que la amplitud del ruido es una variable aleatoria distribuida uniformemente entre ± LSB / 2.

La función de densidad de probabilidad será como se muestra en la Figura 6.

Figura 6

El ruido de cuantificación puede tomar un valor entre ± LSB / 2, y la función de densidad de probabilidad es constante en este rango (es decir, es una distribución uniforme). Como la integral de la función de densidad de probabilidad es igual a uno, su valor será 1 / LSB para -LSB / 2 <e <LSB / 2 (consulte la Figura 6).

Ahora, podemos calcular la potencia media de tiempo del ruido de cuantificación como

Ecuación 1

Esta ecuación nos da la potencia de ruido de cuantificación cuando la señal de ruido se distribuye uniformemente entre ± LSB / 2. Como puede ver, aumentar la resolución del cuantizador reducirá el LSB y la potencia de ruido. Tenga en cuenta que esta ecuación es consistente con el valor RMS que obtuvimos (en el artículo anterior) para el error de cuantificación de una entrada de rampa.

Densidad espectral de potencia de ruido de cuantización

El otro parámetro importante de una fuente de ruido es la densidad espectral de potencia, que indica cómo se distribuye la potencia de ruido en diferentes bandas de frecuencia. Para encontrar la densidad espectral de potencia, debemos calcular la transformada de Fourier de la función de autocorrelación del ruido.

Suponiendo que las muestras de ruido no están correlacionadas unas con otras, podemos aproximar la función de autocorrelación con una función delta en el dominio del tiempo. Dado que la transformada de Fourier de una función delta es igual a uno, la densidad espectral de potencia será independiente de la frecuencia. Por lo tanto, el ruido de cuantización es un ruido blanco con una potencia total igual a LSB²/ 12.

Para encontrar la densidad espectral de potencia unilateral, S_Unilateral(f), sobre el intervalo de Nyquist (DC a f_muestreo/ 2), debemos dividir la potencia de ruido por f_muestreo/ 2. Por lo tanto,

¿Cómo se degrada la SNR de cuantización?

Ahora que conocemos la potencia y la densidad espectral de potencia del ruido de cuantificación, podemos utilizar el modelo de la Figura 2 para analizar el proceso de cuantificación. Por ejemplo, supongamos que tenemos un cuantizador de N bits con un valor de escala completa indicado por FS. ¿Cuál será la SNR en la salida del cuantificador si aplicamos la sinusoide $$ frac {FS} {2} sin (2 pi ft) $$ al cuantizador? La salida será la sinusoide de entrada más un poco de ruido producido por el proceso de cuantificación. La potencia de señal deseada se puede calcular como

La potencia del ruido de cuantificación viene dada por la Ecuación 1. Solo necesitamos reemplazar LSB con $$ frac {FS} {2 ^ N} $$. Por lo tanto, la potencia de ruido es

La SNR viene dada por la siguiente ecuación:

Enchufando los valores, obtenemos

Esto lleva a la siguiente expresión:

Ecuación 2

Esta es una ecuación importante que nos permite determinar la SNR máxima de un cuantizador de N bits ideal cuando la entrada es una onda sinusoidal con la máxima amplitud posible (FS / 2). Por ejemplo, según la Ecuación 2, sabemos que la SNR máxima de un ADC de 10 bits es aproximadamente 60 dB. Tenga en cuenta que cada bit adicional de resolución aumenta la SNR en 6.02 dB.

La ecuación 2 solo tiene en cuenta el ruido de cuantificación. Si hay alguna otra fuente de ruido en el sistema, la SNR será más baja de lo que predice la Ecuación 2. Por ejemplo, aunque esperamos que un ADC de 10 bits tenga una SNR de aproximadamente 60 dB, el ruido de los componentes electrónicos puede llevar a una SNR más baja. Suponga que tales fuentes de ruido adicionales reducen la SNR de nuestro ADC de 10 bits a 55.94 dB.

En este caso, podemos insertar la SNR del ADC en la Ecuación 2 para determinar la resolución efectiva del ADC, que generalmente se conoce como el "número efectivo de bits" (ENOB).

Por lo tanto, si un ADC de 10 bits muestra una SNR de 55.94 dB, su ENOB es de 9 bits.

Como nota final, recuerde que la Ecuación 2 se deriva asumiendo que la banda de interés es el intervalo de Nyquist. Si la señal de entrada tiene un ancho de banda inferior a la frecuencia de Nyquist, podemos seleccionar solo la banda de interés de la salida del cuantificador y mejorar la SNR efectiva del convertidor de datos.

Resumen

• Bajo ciertas suposiciones, se nos permite modelar el error de cuantificación como una fuente de ruido.
• La amplitud del ruido de cuantificación es una variable aleatoria distribuida uniformemente entre ± LSB / 2.
• Con una distribución de amplitud uniforme, la potencia de ruido de cuantización es igual a $$ frac {LSB ^ 2} {12} $$.
• La densidad espectral de potencia del ruido de cuantificación es independiente de la frecuencia (es el ruido blanco).
• Para una onda sinusoidal, podemos encontrar la SNR máxima de un cuantizador de N bits ideal como SNR = 1.76 + 6.02N.

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