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Este artículo continúa nuestra exploración de la gráfica de Nyquist al examinar la relación entre la curva de la gráfica y la frecuencia de corte de un filtro.

En un artículo anterior, vimos que la respuesta de frecuencia de un sistema puede representarse mediante un gráfico polar cuya curva indica la magnitud y la fase, ya que la frecuencia varía de cero a infinito. Llamamos a esto una trama de Nyquist (o diagrama de Nyquist), y es una alternativa interesante a la trama de Bode, que es mucho más común.

El siguiente diagrama se presentó al final del artículo anterior y proporciona un buen resumen visual de la información general que podemos extraer del gráfico de Nyquist de un filtro de primer orden.

La importancia de la frecuencia de corte

El diagrama anterior no incluye una información muy importante, a saber, la frecuencia de corte del filtro. La función de transferencia de dominio s de un filtro de paso bajo de primer orden se puede expresar de la siguiente manera:

$$ T (s) = frac {K} {1 + ( frac {s} { omega _ {O}})} $$

Esta ecuación nos dice que las únicas características distintivas de un filtro de paso bajo dado son K y ω_O. El parámetro K es la ganancia de baja frecuencia del filtro. Los componentes pasivos no tienen capacidad para amplificar una señal, por lo que si nos preocupamos solo por los filtros de paso bajo de primer orden de RC, podemos ignorar K, porque siempre será 1. El parámetro restante, ω_O, es la frecuencia de corte. Por lo tanto, podemos describir completamente un filtro de paso bajo RC simplemente especificando la frecuencia de corte.

Encontrar la frecuencia de corte

Una curva de Nyquist ciertamente no tiene la característica de reducción típica que conocemos tan bien de los gráficos de Bode, y de hecho, una gráfica de Nyquist no nos da información específica sobre la frecuencia de corte de un circuito de filtro. Sin embargo, examinar la relación entre la frecuencia de corte y una curva de Nyquist es una buena manera de reforzar el concepto de frecuencia de corte en general, y también nos dará una idea de las limitaciones del enfoque de Nyquist para describir visualmente la respuesta de frecuencia.

Primero, debemos pensar qué está sucediendo realmente en la frecuencia de corte, con respecto tanto a la respuesta de magnitud como a la respuesta de fase.

Frecuencia de corte por magnitud

Probablemente sepa que otro nombre para la frecuencia de corte es la frecuencia de 3 dB (o –3 dB), y esto nos recuerda que un filtro de paso bajo de primer orden proporciona 3 dB de atenuación (o, equivalentemente, –3 dB de ganancia ) cuando la frecuencia de entrada es ω_O. No usamos decibelios en una gráfica de Nyquist, por lo que en lugar de –3 dB, usamos la relación de amplitud correspondiente, que es $$ frac {1} { sqrt {2}} $$.

Cuando trabajamos con una trama polar, siempre debemos tener en cuenta los triángulos; por ejemplo, la magnitud de un número complejo se determina como si fuera la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyas dos patas son los componentes real e imaginario, y usamos la trigonometría para calcular el ángulo de un número complejo. Ahora que estás pensando en términos de triángulos, ¿el factor $$ frac {1} { sqrt {2}} $$ te da alguna idea?

Como se muestra arriba, el factor $$ sqrt {2} $$ entra en juego cuando un triángulo rectángulo tiene dos patas de igual longitud. Si reducimos la longitud de las piernas a 0.5, la longitud de la hipotenusa es $$ sqrt {2} $$ × 0.5, que es la misma que $$ frac {1} { sqrt {2}} $$ .

Entonces, ¿qué significa todo esto? Considere la siguiente trama de Nyquist:

Este es el gráfico de Nyquist para un filtro de paso bajo de primer orden. Tenga en cuenta que no incluí la parte de la curva que corresponde a las frecuencias negativas.

Como puede ver, el filtro tiene una ganancia de $$ frac {1} { sqrt {2}} $$ en el punto más bajo de la curva, donde el valor absoluto del componente real es igual al valor absoluto de el componente imaginario, y esta es la ubicación de la frecuencia de corte en el gráfico de Nyquist de un filtro de paso bajo de primer orden. La misma relación se aplica a un filtro de paso alto de primer orden, excepto que, en este caso, la frecuencia de corte es de más alto punto de la curva:

La diferencia se debe al hecho de que el cambio de fase del filtro de paso alto varía de + 90 ° a 0 ° a medida que aumenta la frecuencia, mientras que la fase del filtro de paso bajo varía de 0 ° a –90 °. Debido a que el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje real positivo, el desplazamiento de fase positivo se representa sobre el eje real y el desplazamiento de fase negativo se representa debajo del eje real.

Tenga en cuenta también que las dos gráficas tienen flechas que apuntan en direcciones opuestas: en la gráfica de paso bajo, la flecha apunta hacia el origen porque la ganancia disminuye a medida que aumenta la frecuencia; en el gráfico de paso alto, apunta lejos del origen, porque la ganancia aumenta a medida que aumenta la frecuencia.

Frecuencia de corte a través del cambio de fase

También podemos encontrar la frecuencia de corte en un gráfico de Nyquist si recordamos que los 90 ° de cambio de fase producidos por un filtro de primer orden se centran en la frecuencia de corte. En otras palabras, el cambio de fase en ω_O es + 45 ° o –45 °. Un vector dibujado en el plano complejo tendrá un ángulo de + 45 ° o –45 ° cuando sus partes real e imaginaria tengan el mismo valor absoluto, y esto nos lleva a la misma relación geométrica que encontramos al considerar la frecuencia de corte desde la perspectiva de respuesta de magnitud.

Resumen de las frecuencias de corte en las parcelas de Nyquist

Es posible que haya notado que la ubicación de la frecuencia de corte en estos gráficos de Nyquist es puramente geométrica. No puede adjuntar un valor de frecuencia fijo a la ubicación, ya que la ubicación es la misma para todos los filtros de paso bajo de primer orden o para todos los filtros de paso alto de primer orden. La gráfica de Nyquist claramente no es un reemplazo para las gráficas de Bode; sin embargo, es una forma más directa de transmitir información sobre la función de transferencia de un sistema, y ​​como veremos en un artículo futuro, es una herramienta útil en el análisis de estabilidad.