TecNoticias, tu portal de información

Aprenda cómo surge la división de polos como subproducto de la compensación de frecuencia de Miller.

La división de polos surge más famosa en relación con la compensación de frecuencia de Miller, donde colocar un condensador a través de una etapa de ganancia inversora hace que los polos asociados con los puertos de entrada y salida de esa etapa se dividan en direcciones opuestas en el plano s, el primero cambia a un inferior frecuencia, y este último cambiando a una mayor frecuencia. Un subproducto de la compensación de Miller es la creación de un cero de medio plano a la derecha (RHPZ).

Para ilustrarlo, comencemos con la etapa de ganancia básica de la Figura 1, donde la fuente dependiente $$ G_mV_1 $$ gana, y las redes $$ R_1-C_1 $$ y $$ R_2-C_2 $$ modelan el puerto de entrada y los polos del puerto de salida.

Figura 1. Modelo de CA de una etapa de ganancia.

Mediante inspección,

$$ V_1 = frac {1 / (sC_1)} {R_1 + 1 / (sC_1)} V_i = frac {1} {1 + sR_1C_1} V_i ; ; ; ; V_o = – G_ {m} V_ {1} (R_2 parallel frac {1} {sC_2}) = frac {-G_ {m} R_2} {1 + sR_2C_2} V_1 $$

Ecuación 1

dónde s es la frecuencia compleja Al eliminar $$ V_1 $$, expresamos la ganancia del escenario como) en la forma perspicaz

$$ a (s) = frac {V_0} {V_i} = frac {a_0} {(1 + s / omega _ {10}) (1 + s / omega_ {20})} $$

Ecuación 2

dónde

$$ a_0 = -G_mR_2 $$

Ecuación 3

es el escenario ganancia de cc, que es negativo, y

$$ omega_ {10} = frac {1} {R_1C_1} ; ; ; ; ; ; ; ; omega_ {20} = frac {1} {R_2C_2} $$

Ecuación 4

son los frecuencias angulares asociado con los polos de puerto de entrada y puerto de salida. (Recordemos que la frecuencia angular ω, en radianes / seg, y la frecuencia F, en Hertz, están relacionados como ω = 2πf)

El denominador de como) desaparece para $$ s = – omega_ {10} $$ y $$ s = – omega_ {20} $$, que se llaman acertadamente polos de como) porque causan como) volar hasta el infinito En este caso, ambos polos se encuentran en el eje negativo del s avión.

Ahora conectemos el condensador $$ C_f $$ a través de la etapa de ganancia como en la Figura 2, y recalculemos la ganancia a (s).

Figura 2. Modelo de CA de una etapa de ganancia con $$ C_f $$ presente.

Aplicar KCL en el nodo a la izquierda de $$ C_f $$ da

$$ frac {V_i-V_1} {R_1} = frac {V_1} {1 / (sC_1)} + frac {V_1-V_0} {1 / (sC_f)} $$

Ecuación 5a

Del mismo modo, KCL en el nodo a la derecha de $$ C_f $$ da

$$ frac {V_1-V_0} {1 / (sC_f)} = g_mV_1 + frac {V_0} {R_2} + frac {V_0} {1 / (sC_2)} $$

Ecuación 5b

Eliminando $$ V_1 $$ y resolviendo la relación $$ V_o / V_i $$ que obtenemos, después de manipulaciones algebraicas adecuadas,

$$ a (s) = frac {V_0} {V_i} = a_0 frac {1-sC_f / G_m} {1 + s (R_1[C_1+C_f(1+g_mR_2)]+ R_2 (C_f + C_2)) + s ^ 2R_1R_2 (C_1C_f + C_1C_2 + C_fC_2)} $$

Ecuación 6

con $$ a_0 $$ como en la Ecuación 3. Es justo decir que la expresión anterior no proporciona una gran cantidad de información, sin embargo, aún podemos obtener algunas peculiaridades interesantes.

• A pesar de la presencia de tres elementos reactivos, el circuito es solo del segundo orden tipo. Esto es así porque los condensadores forman un bucle, por lo que una vez que conocemos los voltajes en dos de ellos, el voltaje en el tercero también es conocido por KVL, por lo que solo tenemos dos grados de libertad.
• El numerador desaparece para $$ 1 – sC_f / G_m = 0 $$, lo que indica una ganancia de cero para $$ s = ω_0 $$, donde

$$ omega_0 = frac {G_m} {C_f} $$

Ecuación 7

y $$ omega_0 $$ se conoce acertadamente como frecuencia cero.

Físicamente, la corriente transmitida por $$ C_f $$ hacia el nodo de salida se divide entre $$ R_2 $$, $$ C_2 $$ y la fuente dependiente. Si nos ajustamos s para que la corriente provenga de $$ C_f $$ es igual hundido por la fuente dependiente, entonces ninguno irá a $$ R_2 $$ y $$ C_2 $$, lo que implica $$ V_o $$ = 0. Cuando esto sucede, tenemos $$ (V_1 – 0) /[1/(sC_f)] = G_mV_1, $$ o $$ sC_f = G_m $$, o $$ s = G_m / C_f = ω_0 $$. Este cero yace en el eje positivo del s plano, por lo que se conoce como un semiplano derecho cero (RHPZ).

En base a las observaciones anteriores, estipulamos una expresión de ganancia del tipo más perspicaz

$$ a (s) = frac {V_0} {V_i} = a_0 frac {1-s / omega_0} {(1 + s / omega_1) (1 + s / omega_2)} $$

Ecuación 8

con $$ a_0 $$ como en la Ecuación 3, y $$ ω_0 $$ como en la Ecuación 7. Nuestra siguiente tarea es buscar expresiones posiblemente perspicaces para las frecuencias de polo $$ omega_1 $$ y $$ omega_2 $$. Dada la acción de retroalimentación negativa proporcionada por $$ C_f $$, esperamos que estas frecuencias sean bastante diferentes de $$ omega_ {10} $$ y $$ omega_ {20} $$ de la ecuación 4, donde el subíndice cero fue pretendía significar "con $$ C_f $$ = 0". En particular, ya familiarizados con el efecto Miller, anticipamos un polo dominante del orden de

$$ omega_1 cong frac {1} {R_1[C_1+C_f(1+G_mR_2)]} $$

Ecuación 9

y tal que $$ omega_1 << omega_2 $$. Esta última condición nos permite hacer la siguiente aproximación:

$$ frac {1-s / omega_0} {(1 + s / omega_1) (1 + s / omega_2)} = frac {1-s / omega_0} {1 + s / omega1 + s / omega_2 + s ^ 2 / ( omega_1 omega_2)} $$

Ecuación 10

Al igualar los coeficientes de s en los denominadores de las ecuaciones 6 y 10, encontramos fácilmente

$$ omega_1 = frac {1} {R_1[C_1+C_f(1+g_mR_2+R_2/R_1)]+ R_2 {C_2}} $$

Ecuación 11

Teniendo en cuenta que ambos denominadores en las ecuaciones 9 y 11 generalmente están dominados por la capacidad de Miller $$ C_M = C_f (1 + G_mR_2) $$, tenemos una buena razón para confiar en que la aproximación de la ecuación 9 es bastante buena.

Al igualar los coeficientes de $$ s ^ 2 $$ en los denominadores de las ecuaciones 6 y 10, obtenemos

$$ omega_1 omega_2 = frac {1} {R_1R_2[C_f(C_1+C_2)+C_1C_2]} $$

Ecuación 12

indicando que para un determinado $$ C_f $$, el producto $$ omega_1 omega_2 $$ es constante, entonces el cambio descendente $$ omega_ {10} $$ → $$ omega_ {1} $$ debe ir acompañado de un cambio ascendente $$ omega_ {20} rightarrow omega_ {2} $$.

División de polos en PSpice

Usemos PSpice para observar el fenómeno de división de polos. Considere la Figura 3, a continuación.

Figura 3. Circuito PSpice para trazar la división de polos para $$ C_f = 2 pF $$.

Con los valores de los componentes mostrados, tenemos (por la ecuación 4), $$ omega_ {10} = 1 / (100 times10 ^ 3 times 25 times10 ^ {- 12}) $$ = 400 krad / sy $ $ omega_ {20} $$ = 4.0 Mrad / s, correspondiente a las frecuencias

$$ f_ {10} = 63.66 kHz ; ; ; ; ; ; ; ; f_ {20} = 636.6 kHz $$

Ecuación 13

que están separados por una década. Por la ecuación 11 tenemos

Tenga en cuenta, por cierto, que si hubiéramos usado la Ecuación 9, habríamos obtenido $$ omega_1 $$ = 23.42 krad / s, una aproximación bastante buena. Por la ecuación 12 tenemos

$$ omega_2 = frac {1 / 23.23 times 10 ^ 3} {10 ^ 5 times50 times10 ^ 3[2times10^{-12}(25+5)10^{-12}+25times5times10^{-24}]} = 46,40 ; Mrad / s $$

Finalmente, la ecuación 7 da $$ omega_0 = 4 por 10 ^ {- 3} / (2 por 10 ^ {- 12}) $$ = 2.0 Grad / s. Los datos anteriores producen las frecuencias.

Nuestros hallazgos son confirmados por las gráficas de la Figura 4.

Figura 4. Gráficos de magnitud y fase de ganancia para el circuito PSpice de la Figura 3.

En resumen, la presencia de Cf tiene un triple efecto:

1. Eso cambios descendentes la frecuencia del primer polo por un factor de 63.66 / 3.70 = 17.2.
2. Eso cambios ascendentes la frecuencia del segundo polo por un factor de 7,380 / 636.6 = 11.6.
3. Establece un transmisión cero a 318 MHz.

La situación del polo / cero en el s El plano se representa en la Figura 5.

Figura 5. Ilustración del plano S (no a escala) de división de polos y creación de RHPZ.

El cero del semiplano derecho (RHPZ)

Concluyamos observando más de cerca el semiplano cero derecho (RHPZ), al que se hará referencia en abundancia en el próximo artículo sobre estabilidad en presencia de un RHPZ.

Figura 6 Circuito PSpice para contrastar un RHPZ y un LHPZ.

Mirando primero las gráficas $$ C_f $$ = 0 de la Figura 4, notamos que desde $$ f_ {10} $$ a $$ f_ {20} $$ la magnitud se despliega a una tasa de –20 dB / dec, y pasado $$ f_20 $$ a razón de –40 dB / dec. El ángulo de fase correspondiente oscila de 180 ° (debido al hecho de que $$ a_0 $$ es negativo) a 90 °, y luego de 90 ° a 0 °.

Volviendo al lado de las gráficas $$ C_f $$ = 2 pF, observamos que desde $$ f_1 $$ a $$ f_2 $$ la magnitud se despliega a una tasa de –20 dB / dec, de $$ f_2 $$ a $ $ f_0 $$ a una tasa de –40 dB / dec, y pasado $$ f_0 $$ nuevamente a una tasa de –20 dB / dec. El ángulo de fase correspondiente oscila de 180 ° a 90 ° y de 90 ° a 0 ° debido a las frecuencias de polo $$ f_1 $$ y $$ f_2 $$, y luego de 0 ° a –90 ° debido a la frecuencia RHPZ $ $ f_0 $$. En otras palabras, ¡un RHPZ introduce un retardo de fase como un polo de medio plano izquierdo ordinario!

Como veremos, este retraso puede desestabilizar un circuito de retroalimentación negativa que contiene un RHPZ alrededor del bucle.

Dicho de otra manera, la etapa de ganancia actúa como un amplificador inversor para $$ f f_0 $$, lo que convierte la retroalimentación general de negativa a positiva y posiblemente desestabiliza el ciclo.

Para evidenciar similitudes y diferencias entre un RHPZ y un LHPZ, considere las expresiones

$$ a_ {RHPZ} = a_0 frac {1-s / omega_0} {(1 + s / omega_1) (1 + s / omega_2)} ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; a_ {LPHZ} = a_0 frac {1 + s / omega_0} {(1 + s / omega_1) (1 + s / omega_2)} $$

Ecuación 14

que vamos a simular a través de PSpice utilizando los valores de los parámetros de la ecuación 14. Para encontrar expresiones para magnitudes y ángulos de fase en términos de frecuencia ω, dejamos s → jω. Entonces escribimos

$$ Mag[a_{ORHPZ}]= Mag[a_{OLPHZ}] = left | a_o right | sqrt { frac {1 + ( omega / omega_0) ^ 2} {(1 + ( omega / omega_1) ^ 2) times (1 + ( omega / omega_2) ^ 2 )}} $$

$$ Ph[a_ORPHZ]= 180 ^ circ – tan ^ {- 1} ( omega / omega_0) – tan ^ {- 1} ( omega / omega_1) – tan ^ {- 1} ( omega / omega_2) $$

$$ Ph[a_OLPHZ]= 180 ^ circ + tan ^ {- 1} ( omega / omega_0) – tan ^ {- 1} ( omega / omega_1) – tan ^ {- 1} ( omega / omega_2) $$

Las magnitudes son las mismas porque $$ Mag[a pm jb] = sqrt {(a ^ 2 + b ^ 2)} $$. Sin embargo, los ángulos de fase difieren porque $$ Ph[a pm jb] = pm tan ^ {- 1} (b / a) $$. La similitud de magnitud y la diferencia de ángulo de fase se evidencian en la Figura 7.

Figura 7 Gráficos de magnitud y fase de ganancia para los circuitos PSpice de la Figura 6.

Es importante darse cuenta de que las estimaciones de margen de fase a través de la tasa de cierre (ROC) no son aplicables en el presente caso porque un sistema con un RHPZ no es un sistema de fase mínima.

Referencias

1. http://online.sfsu.edu/sfranco/BookAnalog/AnalogJacket.pdf

---

Si te ha gustado este artículo, ¡háznoslo saber en los comentarios a continuación!