La función de transferencia de bucle abierto de señal pequeña del filtro Moog

Estamos analizando el comportamiento del filtro de escalera Moog. En esta sección, analizaremos el corazón de la topología y expresaremos la función de transferencia de bucle abierto de señal pequeña del filtro como un todo.

Los filtros controlados por voltaje (VCF) fueron un pilar del sintetizador analógico. Pero un filtro está por encima del resto, por ser creativo, efectivo y (tengo buena autoridad) audiblemente "brillante": el filtro de escalera Moog.

En esta serie, estamos analizando el comportamiento del filtro de escalera Moog, comenzando con un análisis de bucle abierto de señal pequeña.

En el artículo anterior, repasamos los elementos principales del filtro y analizamos la sección del controlador. Ahora, analizaremos el corazón de la topología (las secciones de filtro) y expresaremos la función de transferencia de bucle abierto de señal pequeña del filtro como un todo.

Figura 1. El filtro de moog

Los filtros individuales del filtro Moog

Las secciones del filtro son similares entre sí, excepto que una (3b) está conduciendo otra etapa en la escalera y la otra (3c) está vinculada al suministro. El mismo mecanismo funciona en ambos, por lo que solo analizaremos el que se muestra en la Figura 2 (3b).

Figura 2. Una sección de filtro en el filtro Moog, con una corriente de conducción diferencial.

Para el análisis de señales pequeñas, podemos hacer las siguientes simplificaciones, que se muestran en las Figuras 3, 4 y 5.

Figura 3. Usando el hecho de que las bases se mantienen a potencial constante, y dejando el condensador como una reactancia.

Figura 4. Retirar el transistor en corto.

Figura 5. El transistor Q3 está conectado en una configuración de diodo, por lo que podemos reemplazarlo esquemáticamente con un diodo.

El circuito de la Figura 6 puede no parecer, a primera vista, un filtro.

Figura 6 El diodo / transistor finalmente se reemplaza con un modelo híbrido-pi.

Esto es justo: no es común ver un circuito RC controlado por corriente como este.

Pero al notar que los dos componentes paralelos actúan como un divisor de corriente en lugar de un divisor de voltaje, comienza a tener sentido. A medida que la reactancia capacitiva $$ X_ {c} $$ disminuye (al aumentar la frecuencia), el voltaje a través del condensador disminuye.

El voltaje de salida de este circuito es el voltaje a través del condensador, y describiendo la función de transferencia como una transimpedancia $$ r_ {tr} $$, encontramos que:

$$ r_ {tr} = frac {v_ {out}} {i_ {in}} = frac {-1} {2j omega C + g_m} $$

Dónde

$$ g_m = frac {I_C} {V_T} $$

Para la polarización del transistor (unidad) actual $$ I_ {C} $$, y asumimos una beta alta.

Para las etapas de filtro intermedio, la corriente de salida, $$ g_ {m} v_ {out} $$, se convierte en la corriente de entrada a la siguiente sección. Esta corriente es:

$$ i_ {out} = i_ {in} frac {-g_m} {2j omega C – g_m} $$

Cuál es el único otro resultado que necesitaremos para calcular la ganancia de bucle abierto.

Para resumir esta sección del filtro, hemos demostrado que la corriente de entrada provoca una caída de voltaje a través del condensador que es proporcional a la reactancia capacitiva. A medida que aumenta la frecuencia, el voltaje disminuye, dándonos nuestra acción de paso bajo. Es como un filtro RC accionado por corriente entre el condensador y la impedancia base equivalente del transistor (la transconductancia). Para las etapas intermedias, las corrientes de transistor se usan como corrientes de entrada a la siguiente sección, mientras que el voltaje del capacitor se toma como la salida de la etapa más alta.

Poniendo todo junto: Cálculo de ganancia de bucle abierto

Hemos descrito las funciones de transferencia de las secciones de controlador y filtro. Ahora estamos preparados para calcular la ganancia de bucle abierto. por norte etapas de filtro, podemos combinar nuestros resultados anteriores (un controlador, secciones de filtro n-1 de mitad de escalera y una sección de filtro de salida), y encontrar, tomando el izquierda lado del condensador de salida como positivo:

$$ v_ {out} = left ( frac {g_m v_ {in}} {2} right) left ( frac {-g_m} {2j omega C + g_m} right) ^ {n-1 } left ( frac {-1} {2j omega C + g_m} right) $$

Lo que se simplifica a:

$$ v_ {out} = pm v_ {in} left ( frac {g_m} {2j omega C + g_m} right) ^ {n} $$

Donde $$ v_ {out} $$ es positivo para norte par y negativo para norte impar. La ganancia de voltaje de bucle abierto es:

$$ A = pm left ( frac {g_m} {2j omega C + g_m} right) ^ {n} $$

Usando el hecho de que $$ g_ {m} $$ es aproximadamente igual a $$ frac {1} {{r_e} '} $$, podemos reescribir esta es una forma más familiar,

$$ A = pm left ( frac {1} {j omega r_e’C + 1} right) ^ n $$

Lo cual, puede observar, se parece mucho a la función de transferencia de un filtro de paso bajo RC,

$$ A = frac {1} {j omega RC – 1} $$

Y hablaremos más sobre esto en el próximo artículo.

Figura 6 Resumen del comportamiento del filtro de escalera de Moog.

Podemos resumir el comportamiento del filtro Moog de la siguiente manera: la corriente de polarización establece el punto de reposo de los transistores y esta corriente se comparte entre ambos lados de la escalera.

Sin tener en cuenta la retroalimentación, un voltaje de entrada en el lado izquierdo impulsa una corriente de señal pequeña a través de las ramas. Una señal diferencial entre las ramas crea una diferencia de potencial entre los condensadores, lo que permite que ocurra el "filtrado". Una forma de ver esto es que la transimpedancia de los transistores crea un filtro RC con los condensadores.

La salida, tomada como el potencial a través del condensador superior, depende de la corriente de señal pequeña que fluye a través de ese condensador.

Hasta este punto, hemos asumido algunas cosas importantes:

1. Todos los transistores comparten la misma beta (es decir, todos son emparejado)
2. La corriente a través de la base de cada transistor es insignificante.
3. Los transistores actúan como fuentes de corriente dependientes ideales (sin efecto temprano).
4. Todos los transistores están polarizados en la región activa.
5. La fuente de corriente de sesgo es ideal.

Incluso con estas idealizaciones, el circuito sufre dependencia de la temperatura (oculto en los términos $$ g_ {m} $$ y betas de transistores). Sin embargo, recuerde que este circuito se usó en sintetizadores analógicos y se considera que estas imperfecciones le dan al filtro "carácter".

Conclusión

En esta segunda parte de nuestro análisis, hemos investigado el comportamiento de las señales pequeñas del famoso filtro de escalera Moog. Hicimos algunos supuestos e idealizaciones importantes para simplificar el análisis y llegamos a una función de transferencia general para un filtro de n etapas.

En el futuro, ampliaremos nuestro análisis teniendo en cuenta los comentarios y analizaremos las secciones del filtro con más detalle para comprender los parámetros del filtro. El filtro de escalera Moog también ha inspirado algunos diseños de copy-cat, y también los analizaremos.

Hasta donde sé, este es el primer análisis de filtro Moog que se ha publicado para el lector general, y estoy encantado de ser el que presente a los diseñadores este diseño creativo e inteligente.