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Este artículo explora el filtro de paso bajo de Butterworth, también conocido como filtro máximo plano, desde la perspectiva de su diagrama de polo cero.

Muchas personas han escuchado el término "filtro de Butterworth" y han utilizado este tipo de filtros en sus circuitos. Ciertamente no tiene que ser un experto en teoría de filtros para incorporar con éxito una topología de filtro en sus diseños. Sin embargo, en algunos casos, es beneficioso entender las cosas más a fondo. En los días de las búsquedas y filtros de SPICE y Google, a veces necesitamos dar un paso atrás y pensar en los fundamentos teóricos y conceptuales sobre los que se construye un circuito funcional.

Mi objetivo en este artículo es ayudarlo a comprender el filtro de Butterworth presentando y discutiendo aspectos de su diagrama de polo cero.

Polos y ceros

Anteriormente escribí un artículo sobre polos y ceros en la teoría de filtros, en caso de que necesite un repaso más extenso sobre ese tema. Los polos representan frecuencias que hacen que el denominador de una función de transferencia sea igual a cero, y generan una reducción en la pendiente de la respuesta de magnitud del sistema. Los ceros representan frecuencias que hacen que el numerador de una función de transferencia sea igual a cero, y generan un aumento en la pendiente de la función de transferencia del sistema.

En este artículo, nos centraremos en el filtro de paso bajo de Butterworth, que tiene al menos dos polos y no tiene ceros. (Todos los filtros de paso bajo tienen al menos un cero en ω = infinito, pero no aparecen en el diagrama de polo cero y generalmente pueden ignorarse).

Trazado de polos y ceros

La información sobre los polos y ceros de un sistema se puede transmitir visualmente marcando sus ubicaciones en el plano complejo. Si ha leído mi artículo sobre la trama de Nyquist o sobre polos complejos conjugados, o el artículo del Dr. Sergio Franco sobre la división de polos, está familiarizado con el concepto de una trama de polo cero.

El siguiente diagrama muestra la estructura básica.

La ubicación de un polo o cero está determinada por su parte real, que se traza horizontalmente, y su parte imaginaria, que se traza verticalmente. Los polos se marcan con un ✕, y los ceros se marcan con un círculo. En el ejemplo anterior, los dos polos representan un par complejo-conjugado, porque tienen partes reales que son iguales y partes imaginarias que son iguales en magnitud pero opuestas en signo.

Un diagrama de polo cero es un medio conveniente y efectivo de transmitir información importante sobre un sistema de filtro. Como puede ver en el diagrama a continuación, indica tanto la frecuencia de polo / cero como el factor Q:

La topología de Butterworth

Utilizo la palabra "topología" aquí para enfatizar el hecho de que el "filtro" de Butterworth es en realidad una clase de circuitos que tienen las mismas características generales.

Como con la mayoría de las otras cosas en la vida, no puede tener un sistema o dispositivo o material que sea mejor que todos los demás en todos los sentidos. En cambio, tenemos compensaciones: rendimiento frente a asequibilidad, durabilidad frente a peso, tiempo libre frente a saldo de cuenta regresiva, etc.

La prioridad de Butterworth es planitud de banda de paso, y eso es lo que une las diversas instancias de la topología de Butterworth: minimizan la cantidad de variación de magnitud que ocurre antes de la frecuencia de corte. Esto contrasta con la topología de Chebyshev, que permite la ondulación de la banda de paso para aumentar la inclinación de la transición de la banda de paso a la banda de detención.

La planitud de la banda de paso es evidente en la siguiente gráfica, que es la respuesta de magnitud de un filtro Butterworth de cuarto orden.

La trama del polo cero de Butterworth

Para lograr una respuesta de paso bajo de Butterworth, necesitamos crear una función de transferencia cuyos polos estén dispuestos de la siguiente manera:

Este filtro particular tiene cuatro polos. Los polos adicionales tendrían que seguir el mismo patrón.

Los siguientes puntos le ayudarán a desempaquetar la información contenida en este diagrama.

• La característica fundamental de un diagrama de polo cero de Butterworth de paso bajo es que los polos tienen igual angular espaciamiento y acostarse a lo largo de un camino semicircular en el semiplano izquierdo.
• Todos los puntos en un círculo tienen la misma distancia desde el centro del círculo. Por lo tanto, la distancia entre el origen y cada polo es la misma, y ​​esto a su vez significa que todos los polos tener la misma frecuencia.
• El ángulo que separa los polos es igual a 180 ° / N, donde N es el orden del filtro. En el ejemplo anterior, N = 4, y el ángulo de separación es 180 ° / 4 = 45 °.
• La separación angular igual de los polos de Butterworth indica que los filtros de orden par solo tendrán polos complejos conjugados. Los filtros de orden impar tienen polos complejos conjugados más un polo puramente real que se encuentra a lo largo del eje real negativo a una distancia de ω0 desde el origen.
• Todos los polos tienen el mismo [ω_0], pero la distancia horizontal desde el origen varía. Así, los polos tener diferentes factores Q

Conclusión

El diagrama del polo cero que examinamos en este artículo no es simplemente una forma de describir Un filtro de paso bajo. Más bien, la configuración del polo es la base teórica para el diseño de un filtro de Butterworth. Dada la frecuencia de corte y el orden de filtro requeridos, elegiríamos componentes para que las ubicaciones de los polos se adhieran a la disposición de Butterworth.

La traducción del diagrama del polo cero a los valores de los componentes no es particularmente fácil; Las tablas precalculadas se usaron en los días previos a las prácticas herramientas de software, y supongo que nunca necesitará realizar este proceso manualmente. Sin embargo, es bueno saber al menos algo sobre conceptos subyacentes, y espero que hayan disfrutado esta discusión sobre la teoría de Butterworth.