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En esta primera parte de una serie de artículos, investigamos el papel del producto de ancho de banda de ganancia (GBP) del amplificador operacional.

El integrador op-amp se presta a una variedad de aplicaciones, que van desde convertidores digitales a analógicos de tipo integrador, a convertidores de voltaje a frecuencia, a filtros de bucle integrador dual, como los tipos biquad y variable de estado. Estos sistemas generalmente se analizan asumiendo un comportamiento de integrador ideal, cuando en realidad existen limitaciones derivadas principalmente de las no ideales de amplificador operacional, que el usuario debe conocer para una aplicación efectiva del integrador.

En esta primera parte de una serie de artículos, investigamos el papel del producto de ancho de banda de ganancia (GBP) del amplificador operacional.

Integrador utilizando un amplificador operacional ideal

Repasemos brevemente el integrador ideal, para que tengamos un estándar con el cual comparar un integrador de la vida real. Para una comparación exhaustiva, vale la pena investigar el integrador tanto en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

por análisis de dominio de tiempo, consulte la Figura 1 (una).

Figura 1. (a) Integrador y (b) ejemplo del comportamiento del integrador en el dominio del tiempo.

Aprovechando el hecho de que un amplificador operacional ideal mantiene el nodo de entrada inversora en tierra virtual, o 0 V, aplicamos KCL para escribir

[frac {v_I – 0}{R} = C frac {d(0- v_O)}{dt}]

o

[dv_O = frac {-1}{RC} v_I dt]

Integrando ambos lados de 0 a t,

[int_{0}^{t}dv_O = frac {-1}{RC} int_{0}^{t} dv_I dt]

y considerando que el término de la izquierda se reduce a (v_O (t) – v_O (0) ), finalmente obtenemos

[v_O(t) = frac {-1}{RC} int_{0}^{t} dv_I (t)dt + v_O(0)]

Ecuación 1

En palabras, (v_O (t) ) es proporcional a la integral de (v_I (t) ), siendo la constante de proporcionalidad –1 / RC. Además, (v_O (0) ) es el valor inicial, que depende de la carga Q (0) inicialmente almacenado en el condensador como (v_O (0) = Q (0) / C ). Una buena manera de evaluar un integrador en el dominio del tiempo es a través de la calidad de las rampas que genera en respuesta a voltajes de entrada constantes, como los que se muestran en la Figura 1 (segundo).

por análisis de dominio de frecuencia, consulte el circuito de la Figura 2 (una).

Figura 2. (a) Integrador y (b) su ganancia ideal, o función de transferencia (H_ {ideal} (jf) ) en el dominio de frecuencia.

Aplicando la fórmula de ganancia del amplificador inversor ideal, escribimos la función de transferencia ideal como

[H_{ideal}(s) = frac {V_o}{V_i} = – frac {1/(sC)}{R} = frac {-1}{sRC}]

Ecuación 2

dónde s es la frecuencia compleja, y (V_i ) y (V_o ) son las transformaciones de Laplace de los voltajes de entrada y salida. Trazado en el plano s, (H_ {ideal} (s) ) se parece a una tienda de campaña con un solo poste colocado justo en el origen. Estamos principalmente interesados ​​en la respuesta del dominio de frecuencia (o CA), por lo que limitamos nuestras consideraciones al perfil de la tienda a lo largo del eje imaginario, que obtenemos dejando [srightarrow jomega], donde ω es la frecuencia angular. (En realidad, en el laboratorio y en el curso de simulaciones SPICE trabajamos con la frecuencia [f = omega/2pi], en hercios.) Entonces, dejando [srightarrow jomega = j 2pi f], ponemos la ecuación (2) en la forma más perspicaz

[H_{ideal}(jf) =frac {V_o}{V_i}= frac {-1}{jf/f_0 }]

Ecuación 3

donde (V_i ) y (V_o ) son los fasores asociados con la entrada y la salida, y

[f_0 = frac {1}{2 pi RC}]

Ecuación 4

La gráfica de magnitud de (H_ {ideal} ) vs. F es una hipérbola, pero cuando se traza en escalas logarítmicas se convierte en una línea recta con una pendiente de –20 dB / dec, como se muestra en la Figura 2 (segundo).

Por razones obvias, (f_0 ) se llama 0 dB del integrador ganar frecuenciao también el frecuencia de ganancia unitaria.

Integrador que utiliza un amplificador operacional GBP constante

Los integradores de la vida real generalmente se implementan con amplificadores operacionales de producto de ancho de banda de ganancia constante (GBP constante). Con referencia al integrador de la Figura 3 (una), donde la ganancia del amplificador operacional se denota como una, buscamos una función de transferencia de circuito cerrado del tipo

$$ H (jf) = frac {V_o} {V_i} = H_ {ideal} (jf) frac {1} {1 + 1 / T (jf)} $$

Ecuación 5

donde (H_ {ideal} ) es como en la ecuación (3) y T = aβ se llama el ganancia de bucle.

Además, β se llama el factor de retroalimentación Lo encontramos ajustando la entrada a cero, rompiendo el bucle en la salida del amplificador operacional y aplicando un voltaje de prueba (V_t ) como se muestra en la Figura 3 (b).

Figura 3. (a) Integrador que utiliza un amplificador operacional con ganancia de bucle abierto a ≠ ∞. (b) Encontrar el factor de retroalimentación β.

Finalmente, usamos la fórmula del divisor de voltaje para obtener

$$ beta = frac {V_n} {V_t} = frac {R} {R + 1 / (j2 pi fC)} = frac {j2 pi fRC} {1+ j2 pi fRC} = frac {jf / f_0} {1 + jf / f_0} $$

Ecuación 6

con (f_0 ) como en la ecuación (4).

Para construir el diagrama de Bode de |H (jf)|, es más conveniente trabajar con el recíproco de β , también conocido como ganancia de ruido,

$$ frac {1} { beta} = frac {1} {jf / f_0} + 1 $$

Ecuación 7

para entonces podemos visualizar el diagrama de decibelios de |TEl | = |aβEl | = |una| / |1 / βEl | como el diferencia entre la trama de decibelios de |unaEl | y el de |1 / β|,

[left |T right |_{dB} = left | a right |_{dB} – left | 1/beta right |_{dB}]

Ecuación 8

Las tramas de |una|, |1 / β| y |HEl | se muestran en la Figura 4.

Figura 4. La función de transferencia | H | de un integrador implementado con un amplificador operacional GBP constante. Aquí, a es la ganancia de bucle abierto del amplificador operacional, (a_0 ) su valor de CC, (f_b ) su ancho de banda de –3 dB, y (f_t ) su frecuencia de transición. La ganancia de ruido 1 / β de la ecuación (7) tiene una asíntota de alta frecuencia de 1, o 0 dB, y una asíntota de baja frecuencia de 1 / (jf / f_{0 0}), cuya magnitud coincide con la de (H_ {ideal} ) de la ecuación (3).

A partir de esto, hacemos las siguientes consideraciones:

• T es mayor para (f_b <f <f_0 ), por lo que este es el rango de frecuencia sobre el cual H está más cerca de (H_ {ideal} ), por la ecuación (5).
• A medida que bajamos F debajo de (f_b ), |TEl | disminuye gradualmente hasta que alcanza 0 dB en (f_p ). Debajo de (f_p ), C actúa como un circuito abierto, permitiendo así que el amplificador operacional se amplifique a su máxima ganancia de CC (a_0 ). Para encontrar (f_p ), explotamos la constancia de la GBP de |HEl | de (f_p ) a (f_0 ) y escriba (a_0 times f_p = 1 times f_0 ). Esto da (f_p = f_0 / a_0 ).
• Mientras subimos F arriba (f_0 ), |TEl | disminuye gradualmente hasta que alcanza 0 dB en (f_t ). Para (f >> f_t ), |TEl | se vuelve tan pequeño (y 1 / |TEl | tan grande) que podemos aproximar la ecuación (5) como

[H cong H_{ideal} frac {1}{1/T} = H_{ideal}T = H_{ideal}: a beta = H_{ideal}: a times 1 cong frac {-1}{jf/f_0} times frac {1}{jf /f_t}]

indicando que arriba (f_t ), |HEl | sale con frecuencia a una velocidad de –40 dB / dec.

Es evidente que H tiene dos frecuencias de polo, por lo que también podemos expresarlo en forma alternativa

[H(jf) = frac {-a_0}{(1+jf /f_p)(1+jf/f_t)}]

Ecuación 9

donde (f_p = f_0 / a_0 ). Esto está muy lejos de $$ H_ {ideal} $$ de la ecuación (3). Solo en los límites (f >> f_p ) y (f << f_t ) H enfoque (H_ {ideal} ).

Verificación a través de PSpice

Verifiquemos nuestros hallazgos a través de PSpice. El circuito de la figura 6 (una) usa un bloque de Laplace para simular un amplificador operacional con (a_0 = 10 ^ 5 ) V / V y (f_b ) = 10 Hz, entonces (f_t ) = GBP = $$ a_0 veces f_b $$ = 1 MHz. Según la ecuación (4), la frecuencia de ganancia unitaria del integrador es (f_0 ) = 10 kHz. Además, (f_p = f_0 / a_0 ) = 0.1 Hz.

Las tramas de la figura 5 (segundo) Confirma nuestro análisis.

Figura 5. (a) Integrador de PSpice usando un bloque de Laplace para simular un amplificador operacional con GBP = 1 MHz. (b) Gráficos de la ganancia de bucle abierto | a |, la función de transferencia del integrador ideal | (H_ {ideal} ) |, y la función real | H |.

A continuación, investiguemos el integrador de la Figura 5 (una) en una aplicación popular de la vida real, a saber, el filtro biquad activamente compensado se muestra en la Figura 6.

Figura 6 Esquema del circuito PSpice de un filtro biquad compensado activamente diseñado para una respuesta de paso de banda centrada en (f_0 ) = 10 kHz con un factor de calidad Q = 25.

Este filtro proporciona las respuestas de paso de banda (BP) y de paso bajo (LP).

Las tramas de la figura 7 (una) muestra las dos respuestas para el caso de amplificadores operacionales ideales simulados cambiando las ganancias de CC de los bloques de Laplace de 1E5 a 1E7, y soltando completamente el polinomio denominador en s. La respuesta BP es simétrica a unos 10 kHz, con una pendiente de baja frecuencia de +20 dB / dec y una pendiente de alta frecuencia de –20 dB / dec. La respuesta LP tiene una pendiente de alta frecuencia de –40 dB / dec.

Volviendo a las tramas de la vida real de la Figura 7 (segundo), observamos que el efecto de GBP = 1 MHz es iniciar, a aproximadamente 1 MHz, velocidades de caída más pronunciadas para ambas respuestas, por lo que la tasa final para la respuesta de BP cambia de –20 dB / dec a –40 dB / dec , y eso para la respuesta LP de –40 dB / dec a –60 dB / dec.

Figura 7 Respuestas de paso de banda y paso bajo del filtro biquad de la Figura 6 para el caso de (a) amplificadores operacionales ideales, y (b) amplificadores operacionales con GBP = 1 MHz.

Dependiendo de la aplicación, estas tasas de reducción más pronunciadas pueden ser bienvenidas. Sin embargo, también hay algunos cambios sutiles en F_{0 0} y Q eso se abordará en un artículo posterior.

Consideraciones de estabilidad

Mirando la Figura 4, notamos que arriba F_{0 0} tenemos β → 1. Esto es así porque para (f >> f_0 ), do actúa como un corto, obligando al amplificador operacional a operar en el modo seguidor de voltaje de ganancia unitaria. Entonces, si el amplificador operacional es del tipo totalmente compensado, será estable también como integrador.

Ahora, considerando que para un determinado (f_0 ), un integrador bien diseñado debe usar un amplificador operacional con (f_t >> f_0 ), nos preguntamos si un integrador puede implementarse con un amplificador operacional descompensado, que disfruta de un mayor F_t que su versión totalmente compensada. El integrador de la Figura 8 (una) utiliza un amplificador operacional descompensado con una ganancia de CC de 100 dB y un polo dominante de 100 Hz (para una GBP de 10 MHz), más un segundo polo a 1 MHz. Su frecuencia de transición es ahora (f_t ) = 3.08 MHz, donde su ángulo de fase es –162 °. El |1 / βEl | curva seguirá interceptando el |unaEl | curva en (f_t ), por lo que el margen de fase de este integrador es ( phi_m ) = 180 – 162 = 18 °, no mucho margen. De hecho, si este amplificador operacional se usara como un seguidor de voltaje de ganancia de unidad simple, su ganancia de CA exhibiría un pico de más de 10 dB, y su respuesta transitoria un sobreimpulso de más del 60%.

Sin embargo, la respuesta ac de la Figura 8 (segundo) muestra una cantidad de picos muy reducida (aproximadamente 2 dB), lo que indica que el integrador, al ser un filtro de paso bajo, intenta reducir su propio pico. Al igual que el integrador reduce el pico en el dominio de la frecuencia, también reduce la cantidad de timbres en el dominio del tiempo.

Figura 8. (a) Integrador utilizando un amplificador operacional descompensado que tiene el margen de fase ( phi_m ) = 18 °. (b) La acción de filtrado de paso bajo por parte del integrador reduce considerablemente la cantidad de picos.

Esto se representa en la Figura 9, cuyos gráficos se generan al cambiar la fuente de entrada de CA de la Figura 8 (una) a una fuente de pulso de 10 kHz.

Figura 9 (a) Respuesta del integrador de la Figura 8 (a) a una onda cuadrada de 10 kHz. (b) Vista ampliada que muestra una pequeña cantidad de timbres después de un cambio de paso de entrada.

En conclusión, generalmente se desaconseja el uso de amplificadores operacionales descompensados, aunque en la operación del integrador se reducen considerablemente el pico y el timbre.