TecNoticias, tu portal de información

En un artículo anterior, discutimos que la densidad espectral de potencia de ruido (PSD) especifica la potencia promedio de ruido a diferentes frecuencias dentro del ancho de banda de interés. En este artículo, veremos que PSD es la herramienta principal que nos permite examinar el efecto de una fuente de ruido en la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI).

Una función de transferencia da forma al ruido

La Figura 1 muestra el espectro de una fuente de ruido hipotética que exhibe la misma potencia promedio en todas las frecuencias, es decir, (S_X (f) = eta ) donde η es una constante.

Figura 1

Si aplicamos este ruido a un sistema LTI, la función de transferencia del sistema determinará la potencia promedio de salida a diferentes frecuencias. Por ejemplo, si el sistema es un filtro de paso bajo ideal con una ganancia de CC de 1, todos los componentes de frecuencia de ruido en la banda de detención del filtro se suprimirán por completo. Sin embargo, los componentes de frecuencia en la banda de paso no se verán afectados.

Figura 2

En general, se puede demostrar que el nivel de potencia a una frecuencia dada se modificará por un factor igual al cuadrado de la magnitud de la función de transferencia a esa frecuencia. Esto se expresa matemáticamente por la siguiente ecuación:

(S_ {salida} (f) = S_ {entrada} (f) times left | H (f) right | ^ 2 )

Ecuación 1

donde H (f) denota la función de transferencia del sistema. En esta ecuación, (S_ {input} (f) ) y (S_ {output} (f) ) son la densidad espectral de potencia de ruido en V²/ Hz (no la densidad de voltaje de ruido en (V / sqrt {Hz} )). Esta ecuación revela cómo la función de transferencia del sistema configura el ruido.

Usando esta ecuación fundamental, podemos analizar el efecto del ruido en la salida de un sistema LTI.

Encontrar ruido RMS de la densidad espectral de potencia (PSD)

Sabemos que S_X(f) especifica la potencia de la forma de onda de ruido X en un ancho de banda de 1 Hz alrededor de f. Como sabemos eso, podemos calcular la potencia de ruido total sobre un ancho de banda dado calculando el área total bajo S_X(f) en esa banda de frecuencia.

Para la densidad espectral de potencia que se muestra en la Figura 3, el área sombreada (A1) proporciona la potencia de ruido total en la banda de frecuencia de f₁ a f₂.

figura 3

Supongamos que A₁ se puede aproximar con el área A₂ como se muestra en la Figura 4.

Figura 4

Si el eje vertical en la Figura 4 está en términos de (V ^ 2 / Hz ), entonces la potencia de ruido total de f₁ a f₂ estarán:

(P_ {tot} = f_2-f_1 )

Esto es en términos de V₂. El ruido RMS (en V) se puede encontrar calculando la raíz cuadrada del valor anterior:

(V_ {n, RMS} = sqrt {(f_2-f_1) eta} )

Sin embargo, los fabricantes suelen especificar el rendimiento de ruido de su producto al proporcionar la raíz cuadrada de la PSD.

Si suponemos que el eje vertical en la Figura 4 está en V / Hz, el ruido RMS (en V) será:

(V_ {n, RMS} = eta sqrt {f_2-f_1} )

Ancho de banda equivalente de ruido

Para el ejemplo representado en la Figura 3, calculamos la potencia de ruido en el rango de frecuencia de f₁ a f₂ e ignoró por completo todos los componentes de frecuencia fuera de este rango.

En la práctica, generalmente necesitamos calcular la potencia de ruido en un rango de frecuencia limitado por el ancho de banda de un filtro. Un filtro del mundo real no puede tener transiciones bruscas de banda de paso a banda de detención. Por lo tanto, debemos tener en cuenta la potencia de los componentes de frecuencia que se encuentran en la región de caída del filtro.

La Figura 5 muestra cómo un filtro de paso bajo práctico solo puede suprimir parcialmente los componentes de ruido en la región de caída.

Figura 5

Veamos cómo podemos tener en cuenta estos componentes parcialmente suprimidos. Suponga que el filtro en la Figura 5 es un filtro de paso bajo de primer orden con la siguiente función de transferencia:

(H (f) = frac {1} {1 + j frac {f} {f _ {- 3dB}}} )

El espectro de ruido en la salida del filtro será:

(S_ {salida} (f) = S_ {entrada} (f) times | H (f) | ^ 2 = eta times frac {1} {(1+ frac {f} {f _ {- 3dB}}) ^ 2} )

La potencia de ruido total en la salida del filtro se puede encontrar integrando (S_ {salida} (f) ) en todo el rango de frecuencia de 0 a ∞:

(P_ {tot} = int_ {0} ^ { infty} eta times frac {1} {1 + ( frac {f} {f _ {- 3dB}}) ^ 2} df )

Calculando esta integral, obtenemos (P_ {tot} = eta times frac { pi} {2} times f _ {- 3dB} = eta times 1.571 times f _ {- 3dB} ). Esto es igual a la potencia de ruido total que tendríamos si nuestro filtro de paso bajo tuviera un ancho de banda de (1.571 times f _ {- 3dB} ) y exhibiera una transición idealmente abrupta de banda de paso a banda de parada.

Por lo tanto, para calcular la potencia de ruido total en la salida de un filtro de paso bajo de primer orden, podemos suponer que la caída del filtro es abrupta y aumentar el ancho de banda del filtro en un factor de 1.571. A menudo nos referimos a (1.571 times f _ {- 3dB} ) como el ancho de banda equivalente de ruido de un filtro de primer orden que tiene un ancho de banda de 3 dB de (f _ {- 3dB} ). El factor 1.571 es a veces referido como el factor de forma.

A medida que aumenta el orden del filtro, su transición de banda de paso a banda de parada se vuelve cada vez más abrupta. Por eso esperamos tener un factor de forma más pequeño para los filtros de orden superior. La Tabla 1 a continuación muestra el factor de forma para diferentes órdenes de filtro.

En la siguiente sección, veremos un ejemplo del uso de estos factores de forma para calcular la contribución del ruido de diferentes fuentes en la cadena de señal.

Ancho de banda de ruido cuando varias etapas se conectan en cascada

Cuando tenemos varias etapas en cascada, cada una con un ancho de banda diferente, debemos considerar el ancho de banda más pequeño que experimenta una fuente de ruido determinada.

Como ejemplo, considere la cadena de señal que se muestra en la Figura 6.

Figura 6

La figura proporciona la ganancia y el ancho de banda para cada etapa. Además, especifica el espectro del ruido aportado por cada etapa en (nV / sqrt {Hz} ). El ruido producido por el amplificador es (100 nV / sqrt {Hz} ) sobre el ancho de banda del amplificador (100 kHz). A medida que este ruido atraviesa las etapas en cascada, su ancho de banda se puede limitar aún más por el ancho de banda de las diferentes etapas.

La segunda etapa en la cadena es un filtro de tercer orden. Dado que el factor de forma para una función de transferencia de tercer orden es 1.05, el ancho de banda de ruido de esta etapa será 1 kHz 1.05 = 1.05 kHz. Esto es mucho más pequeño que los anchos de banda del controlador y el filtro RC que son 100 MHz y 3 MHz, respectivamente. Por lo tanto, para el ruido generado por la primera etapa, debemos considerar un ancho de banda de ruido de 1.05 kHz.

El ruido RMS procedente de esta etapa será

(V_ {n, RMS, Amplificador} = 100 nV / sqrt {Hz} times sqrt {1050 Hz} = 3.24 mu V )

Del mismo modo, podemos calcular el ancho de banda efectivo para las otras fuentes de ruido en la cadena de señal.

Tenga en cuenta que un componente con la densidad espectral de ruido más alta no es necesariamente el contribuyente de ruido más dominante del sistema. Por ejemplo, el amplificador PSD es varias veces más grande que el del controlador. Debido a esto, uno puede pensar erróneamente que el ruido aportado por el amplificador es mucho mayor que el producido por el controlador. Sin embargo, este no es necesariamente el caso. En este ejemplo, el ancho de banda más pequeño que experimenta el ruido del controlador es el del filtro RC.

Considerando el factor de forma de 1.57 para esta etapa, obtenemos:

(V_ {n, RMS, Driver} = 4 nV / sqrt {Hz} times sqrt {1.57 times 3 MHz} = 8.68 mu V )

que es mucho más grande que el ruido RMS que se origina en el amplificador.

Descripción general de la densidad espectral de ruido

• Cuando una señal de ruido pasa a través de un sistema LTI, su PSD se "forma" por la función de transferencia del sistema.
• Podemos calcular la potencia total de una señal de ruido calculando el área total bajo la curva PSD sobre un ancho de banda dado.
• Para calcular la potencia de ruido total en la salida de un filtro, podemos suponer que la caída del filtro es abrupta y aumentar el ancho de banda del filtro en un factor llamado factor de forma.
• A medida que aumenta el orden del filtro, su transición de banda de paso a banda de detención se vuelve cada vez más abrupta y el factor de forma se acerca a uno.
• Cuando tenemos varias etapas en cascada, cada una con un ancho de banda diferente, debemos considerar el ancho de banda más pequeño que experimenta una fuente de ruido determinada.